摘 要：在新课标实施阶段，数学不仅成为学生终身发展的必备的基础知识、基本技能，同时也成为培养学生的创新精神和实践能力的一种良好的途径。本文就如何利用高中数学问题的非常规解法，来培养学生的以上能力进行探讨。
  关键词：高中数学 解题方法 实践能力 创新精神
  新课程标准下，高中数学以培养学生的“知识与技能，数学思考、社会与实践，情感与价值”为目标，这有利于激发学生学习的积极性，有利于学生把书本知识与生活实际相联系在一起，有利于学生的创新精神的培养，重视发展学生搜集处理信息的能力，自主获取新知的能力。在数学教学中，带领学生探索数学问题的非常规解法，是培养学生创造性和独立性的最佳途径和最佳方法，对培养学生的创新思维能力起着独特的作用，下面结合创新思维能力的特点，就数学问题的非常规解法在教学中的巧用作一探讨。
  一、 探索非常规解法中的换元法，培养学生化归转化的思想方法。
  换元法是高中数学中常用的非常规解法之一，它的基本思想是化未知为已知，化繁杂为简单的“化归”思想。
　　例：已知1≤x2+y2≤2,u=x2+xy+y2(x,y∈R),则(   )
　　(A) ■ ≤u≤3   (B) ■≤u≤■
  (C)0≤u≤3     (D) 0≤u≤■
  【解析】选A.令x=rcosθ,y=rsinθ(1≤r≤ ),
　　∴u=r2(cos2θ+sinθcosθ+sin2θ)=r2(1+■sin2θ).
　　∵r2∈［1,2］,
　　 1+■sin2θ∈【■，■】，∴■≤u≤3
  二、探索非常规解法中的反证法，培养学生的逆向思维能力。
　　反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
　　反证法的具体步骤是：
　　第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
　　第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
　　第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
　　用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
　　例：证明在空间不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面而它们的每一个面又有奇数条边。
  证明：假设该多面体的面有n个，n为奇数，每个面的边数分别为S1，S2…Sn都是奇数。
  ∵每两相邻的面共有一条边，∴此多面体的总边数S为S=1/2(S1+S2+…+Sn)或S1+S2+…+Sn=2S此式左边是奇数个奇数之和，结果是奇数，而右边是偶数，∴此式不能成立。这一矛盾说明满足题设条件的多面体不存在。即证明原命题成立。
　　在数学解题中经常使用到反证法，牛顿曾经说过“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变思维方向从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
  三、探索数形结合的思想方法，培养学生辩证统一的思想方法。
　　数形结合是一种数学思想方法，是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，如应用函数的图像来直观地说明函数的性质，及应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
  例1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为                                           (　　)
  A.■  B．3  C. ■ D.■
　　解析：利用抛物线的定义，连结点(0,2)和抛物线焦点F(■，0)交抛物线于点P，
  则点P使所求距离最小，其最小值为
    ■ =■
　　　　答案：A
  例2：方程lgx=sinx的实
数根的个数是_______个。
　　分析：用通常解方程的方法直接解此方程就无从下手，需转换思路，即看成两个函数图像的交点的个数即可。
　　解：把函数y=lgx与y=sinx的图像在同一个直角坐标系中画出，它们的交点有3个，所以原方程实数根的个数是3个。
　　华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合方法应用十分广泛，灵活应用这一方法不仅能培养学生的空间想象能力，而且增强学生解决实际问题的能力。
  四、探索非常规解法在选择题中的巧用。
　　在选择题中除了掌握行之有效的直接法外，学习一些非常规的解法，如排除法、特殊法、逆推法、分析法、代入验证法等，在解题中会给我们带来惊喜，可把我们从繁(下转第78页)（上接第4页）杂冗长的解题思维与运算过程中解放出来。
　　(一)排除法，即将题目和各个备选答案综合起来考察，运用有关知识将不和题意的选项排除掉，从而选出正确的答案。
  例：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是(　　)
  A．0<a≤1 B．a<1 C．a≤1 D．0<a≤1或a<0
  解析:　当a＝0时，x＝－■，故排除A、D.
  当a＝1时，x＝－1，排除B. 故选C.
　　（二）特殊值法，特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。
　　特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答类似“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”这样以全称判断形式出现的题目。
　　

  探索和掌握一些常用的非常规解法可以大大提高解题的速度和质量，对培养学生的创造能力和综合解题能力大有益处，这种打破常规的思想方法，使学生既有整体设想，又不完全依赖于固定的模式，把知识综合起来应用，提高了分析问题和解决问题的能力。
　 参考文献：
　　［1］《数学课程标准研修》，高等教育出版社。
　　［2］合肥，曹秋敏编著，《问题的非常规解法教学管见》。
　　［3］朱德宣等编著，《中学数学解题方法与思维训练》，天津人民出版社。