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     数是数学中最基本概念之一。这个概念是从现实世界的有关量中直接或间接地逐步抽象出来的；而现实世界又充满着矛盾，因此，它必然充满着矛盾，有着深刻的辩证性质。分析数的概念的发展历程，有利于我们挖掘其矛盾产生的根源，从而有效地利用矛盾分析法，解决数学中的问题。
     一、数的概念的发展及其辩证关系
     数的概念发展历史表明，在社会实践中，现实世界数量关系的矛盾，不断反映到人的思想中来，构成数学上的矛盾，这种矛盾不断出现和不断解决，促使数的概念逐步扩展。
     1、正数与负数的产生
     数的概念起源于数东西的数（音属）。人类社会初期，人们在考察狩猎、捕鱼、采集果实劳动中发现了物与数目对应的问题。但是，这时人们没有具体事物中抽象出“数”这个概念。经过长期的实践，人们逐渐认识到各种事物集合在量上的共同特征。比如：三头羊、三条鱼、三朵花、三个梨等等，虽然它们是一些不同的东西，但它们在量上都有共同的特征，即都是三个东西。久而久之，人们便从各种不同的具体事物的集合中抽象出量的共同特征，即得到了抽象的数。于是人类对数的认识便从感性认识上升到理性认识，发生了质的飞跃，从而抽象出整数的概念。
    人们有了整数的概念之后，可以解决生产和生活中的一些问题。但由于人类实践的发展，认识的深化，又感到只有整数是不够用的，便产生了分数的概念。分数概念的形成，在实践中解决了整数不能解决的矛盾。
　　在实践中如卖出与买入，增加与减少等用算术数无法表示，于是引入了负数的概念。在数学的发展中起初人们在解方程时，要么否认，要么回避，然而在实践的推动下，负数作为正数的补充，逐渐得到了人们的公认。
　　2、有理数与无理数的产生
　　在实际度量中，原先人们认为只要单位取得充分小，总可以把两个量同时量尽；或另一个量为单位，则另一个量可表示为两个正数m与n之比，可后来发现，像正方形对角线与边长之间就找不到适当小的单位把它们量尽。实际上，根据勾股定理，正方形对角线的长与其边长之比不是一个分数而是，即正方形对角线与其边长是两个不可公度的线段。可见表示可公度线段的长度只要用有理数的概念就可以解决，但是要表示不可公度线段的长度用有理数就行不通了。为了解决这个矛盾，人们引入了“无理数”的概念。无理数的出现解决了数学上开方不尽的矛盾。
　　3、实数与虚数的产生
　　有了实数的概念，人们就能解决过去仅有有理数时所不能解决的不可公度和开方不尽的矛盾。但后来随着生产和实践的深入发展，又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？于是在数的概念中又引入了虚数的概念。
　　从数的概念发展过程可看出，一方面数的产生与人们生产、生活实践需要有关，另一方面也与数学理论自身矛盾运动分不开。实际上，从解决数学自身矛盾运动角度看，数的概念每一次扩展，也是解决数学运算中所出现的种种矛盾的必然结果。如解决不能整除的矛盾产生了分数；解决不够减的矛盾出现可负数；解决开方不尽的矛盾产生了无理数；解决负数不能开偶次方的矛盾产生了虚数。
　　从这个发展过程可看出，矛盾始终是存在着的。自然数中存在着一与多的矛盾，整数中存在着有与无的矛盾，有理数中存在着整数与分数、正数与负数的矛盾，在实数中存在着有理数与无理数的矛盾，在复数中存在着实数与虚数的矛盾。在狭义数种存在着复数与超复数的矛盾等。数的概念正是在不断认识和解决这些矛盾的过程中不断发展的。
　　从数的概念间的辩证关系可看出数学中同一对矛盾概念间既对立又统一，在矛盾中发展，在统一中完善。矛盾分析法就是对事物的各个矛盾以及矛盾的各个侧面分别作深刻的考察，以找出对象各方面的本质特征的过程。所以，我们在研究数学概念时以此为指导思想，才能对抽象的数学概念有深入透彻的理解。
　　二、矛盾分析法在数学中的应用
　　我们知道，数学概念中的正与负、直与曲、平行于相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、循环与不循环等；还有数学运算方面的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分等等，都直接表现为对立的形式，这些事实足以说明数学内容也充满着矛盾。所以，运用哲学上的矛盾分析法来研究数学也是必要的。这种方法就是研究数学中存在的各种各样的矛盾和每对矛盾的双方，并研究矛盾双方的相互依赖、相互联系，以及它们相互转化的条件。从而创造发明解决数学问题的理论和方法。下面通过数学中几例主要矛盾的分析来说明矛盾分析法在数学中的应用。
　　（一）已知和未知
　　已知和未知是数学中普遍存在的一对矛盾。由已知数量及条件计算未知数量；由已知事实和理论来验证未知的猜想和假设；由已知的个别事实推导出一般得规律和方法，这种化未知为已知的问题是解决数学问题的重要方法。例如：在解一些应用题时，我们可以假设未知数为X、Y、Z…，然后根据已知条件列出方程，再运用解方程的方法求出各个未知数的值。又比如：已知二次方程（a-b）+(c-a)X+(b-c)=0有相等实数根(a、b、c为实数)，求证a、b、c成等差数列。我们可以从已知条件“二次方程”中再挖掘出可以利用的已知条件：二次方程的韦达定理，可以得到b-c/a-b=1，从而立刻可以得到证明。
　　为了化未知为已知，首先要分析已知和未知的相互联系，从而发现化未知为已知的条件和方法。在许多数学问题中的已知和未知，它们既有个性也有共性。“已知”和“未知”是它们不同的个性，可它们都可以和数一样进行计算，这就是它们的共性。数学从算术发展到代数，就是运用了已知和未知的不同个性和共性。用不同符号表示已知（具体的数或a、b、c……）和未知（x、y、z……），并把已知和未知的符号都看作数一样进行计算，这样就创造了代数式和用方程来解数学问题的方法。可见，运用矛盾分析法既看到已知和未知的不同点，又看到它们的共同点，根据它们的辩证关系创造了化未知为已知的条件和方法。这样，使得数学从算术跃进到代数，大大改变了数学的面貌。
　　（二）常量与变量
　　常量是反映事物相对静止的量，变量是反映事物运动变化状态的量。常量与变量是有严格区别的，但是，常量与变量具有相对性、相互依存性而且在某种条件下可以互相转化。
　　1.常量与变量的相对性
　　在现实的量中，许多量既可以看作常量也可以看作变量。例如：物体从高空到地球的加速度，如果不记空气的阻力或地球上的位置的影响，可以看作常量；如果记空气的阻力或落到地球上不同位置，又可以看作变量。
　　在数学中从不同的角度去研究数的性质和关系。常量与变量具有相对性。例如在公  中，按照字母所表示的意义来说，a、b、   都是常量。但是，这些字母可以取任何的一个数，所以，这些字母也可以看作变量。正是因为数学公式中的字母可以看作在一定数的范围内的变量，公式才能广泛应用。
　　又如在不定积分的公式  中，c是任意常数。显然字母c表示常数。但又是在实数范围内可任意取值的常数，因此，字母c又有可变性。
　　又如在解析几何中，直线方程y=mx+b中，x、y表示变量。 m、b 表示常量。但在研究经过一定点的直线时。x、y作为这个定点的坐标而取定值，那么x、y作为常量，而m、b则作为变量。
　　可见，利用常量和变量的相对性来研究数学问题，对数学的对象会得到更深刻的认识。
　　2.常量与变量的相互联系相互作用
　　在解析几何中，方程f(x,y)=0中的x、y 是变量，而方程的系数是常数。由方程的系数我们可以确定变量x、y 的一些变化关系。
　　例如，二次方程 中，可以根据系数（常数）A、B、C、D、E的一些关系来确定这个方程的曲线的一些性质。如当A=B时，它的曲线一般是圆，当A≠B，AB>0时，它的曲线一般是椭圆等等。
　　又如，在几何变换中，常常用各种变换下的不变量来刻划这些变换的特征。如在全等变换中，线段长度不变，因而几何形状也保持不变。在相似变换中，对应线段中，对应线段的比不变，因而角也保持不变。
　　又如，无穷数列的极限的定义是“对于无穷数列无论我们预先指定怎么小的正数，都存在N,使n>N时的一切，都成立， 则称常数A为无穷数列的极限”。讨论这定义的条件时就要首先说明 都是可变的常量，然后把  取确定的值进行计算，找到符合条件 的n值，从而刻划无穷数列以数A为极限的变化趋势。也就是说，具有二重性，是变量可以任意取值，但一经取定又成为常量。一对相对矛盾的概念发生是转变。
　　上述例子可以说明，在数学中常常可以通过常量来研究变量的一些重要性质。反之，在数学中也常常可以通过变量的变化趋势来研究常量。
　　例如，圆周长与直径的比（圆周率）是一个常量，记为，怎样计算这个常量呢？中国古代数学家就懂得从圆内接正六边形算起，因为圆内接正六边形的边长等于半径，它的周长等于六倍半径，根据圆内接正六边形的倍边公式，可由圆内接正六边形的边长算得圆内接正12边形、正24边形、正48边形、……等的边长和周长，也就是把这样的圆内接正多边形的边数作为变量，得到数列3×2,3×2，……，3×2，……，（n是正整数）。当n逐步变大时，就可以求得常数  的近似值，并可以达到任何精确度。在这里利用矛盾分析法使常量和变量得到了转化。
　　又如，求函数的极值（常量），可以通过它的导函数y=2x+3（变量）来求得。
　　这些都是通过变量来研究常量的例子。
　　(三)直与曲
　　直线与曲线的根本区别是：直线的任何部分如果有两点在这直线上，则这部分的所有点都在这直线上。而曲线没有这个性质。但是，当曲线分成很小的部分时，常常可以看作直的线段。例如：计算圆面积时，把圆周C分成许多很短的弧，把各段弧长记作，圆周长就等于所有弧长的和，记作 我们把每段弧看作直线段，那么，每段弧和过弧两段点的半径围成的三角形，可以看作是一个等腰三角形；这样的等腰三角形的底边长为，高为圆半径r。那么，圆面积S是所有这样的等腰三角形面积的和，就是
　　
　　已知
　　上述用直线代替曲线来计算圆的面积的方法，与用圆内接正多边形边数倍增逼近圆来计算圆周长和圆面积的思想方法是一致的，直与曲本身是一对矛盾的概念，但是通过他们之间的矛盾运动进行转换利用对方的性质解决了自身无法或很难解决的问题，矛盾分析在此起到了关键的作用。
　　从上面几个例子可以看出，用矛盾分析法来研究数学中每对矛盾双方有关概念及其相互联系、相互作用，不仅对有关概念的性质的认识比较深刻，而且会从中发现一些新的数学方法和新的数学知识。
　　　总之，在学习数学时要引导学生牢记知识点并弄清知识的本来面目，坚持一分为二的矛盾分析方法.既把握核心知识又要兼顾细节问题.并且在解题中要敢于承认矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；学习数学和解决数学问题时融入辩证思想，运用矛盾分析法规范步骤和逻辑，指导数学学习和实践，才能使数学学习有章有法.
　　
　　参考文献
 [1]李文林 数学史概论[M],高等教育出版社，2002:11
 [2]钱克仁 数学史选讲[M]，江苏教育技出版社，1986:131

收稿日期：2013-10-15
作者简介：司桂荣（1964--），女，内蒙古乌兰浩特市人，内蒙古广播电视大学兴安盟分校副校长，副教授,研究方向：数学教育
Si Guirong
(Xingan Meng branch of Inner Mongolia Radio and TV University Inner Mongolia Ulanhot 137400)

        Abstract: contradictions exist everywhere, there are mathematical contradictions. These contradictory personality is also common; interdependent and can be transformed into each other. The correct use of the method of contradiction analysis can solve many problems in mathematics. Development of the concept of number analysis in this paper, the root of its contradictions, and through  some examples of how to use the contradiction in the teaching of mathematics analysis
     Keywords: mathematical problems; contradiction; analysis