【正文】美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题。只有对数学知识建构了完整的体系、数学思想的透彻理解、数学方法能灵活应用时才能解题、解好题、巧解题，才能提出新看法、新解法。当今高考重视对数学思想、方法的考查。抽象函数题，是如今高考的热点之一，因为抽象函数没有解析式可利用，使得有些同学束手无策，本文通过具体例题来解释如何求解“导数应用抽象函数题”。进而展示数学知识的应用、数学解法的多样性。
　　例题一：f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
　　A．af(b)≤bf(a)　　　　　　  B．bf(a)≤af(b)
　　C．af(a)≤f(b)       D．bf(b)≤f(a)
　　解法一 (构造函数法) ：考虑到选项的结构特征：①不等式两边的对称性；②不等式的基本性质的利用即把原不等式转化成大小的比较。从而想到构造函数并利用函数的单调性解题：
　　解：　∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴f(x)≥0，
　　　　　∵ xf′(x)＋f(x)≤0， ∴  xf′(x)≤－f(x)，
　　　　　∴′＝≤≤0.
　　则函数在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a<b，则≥.即af(b)≤bf(a)．
　　故选A。
　　解法二（相关函数法）：考虑已知条件“xf′(x)＋f(x)≤0”的结构特征：某一积函数的导数。从而引入函数。
　　解：设，则，
　　　　∵xf′(x)＋f(x)≤0，∴
　　　　∴
　　　　∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴f(x)≥0，
　　∵0<a<b，∴即af(b)≤bf(a)．
　　故选A。
　　解法三（函数性质法）：直接从已知条件“f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数”联想到函数f(x)的导数与其单调性的关系，从而尝试解题。
　　解：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴f(x)≥0，
　　    ∵xf′(x)＋f(x)≤0，∴xf′(x) ≤0, ∴f′(x) ≤0, ∴f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，∵0<a<b，∴,再根据不等式的基本性质得到af(b)≤bf(a)。故选A。
　　解法四（特殊值（式）法）：合理赋值，化抽象为具体。
　　解：∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴f(x)≥0，∵xf′(x)＋f(x)≤0，∴xf′(x) ≤0, ∴f′(x) ≤0,故可设一常见函数，∴，满足xf′(x)＋f(x)≤0。∵0<a<b，显然有,再根据不等式的基本性质得到af(b)≤bf(a)。故选A。
　　由题感悟：对于导数应用中的抽象函数问题，主要是以函数的单调性与导函数正负关系为背景，以考查考生的知识迁移、整合能力，推理论证能力，运算求解能力。
　　配套练习：已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是(　　)
　　A．(－1,2)   B.   C.    D．(－2,1)
　　解析：选A　由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x－1<3，解得－1<x<2.
例题二：（2012·重庆高考理科）设函数在上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(   )
(A)函数有极大值和极小值
(B)函数有极大值和极小值
(C)函数有极大值和极小值
(D)函数有极大值和极小值
　　解析（数形结合法）：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。本题函数f(x)为抽象函数，没有具体的解析式，因此只能通过判断其导函数f′(x)的正负情况来确定函数f(x)的单调性，再结合极值的定义来得出函数f(x)的极值。
　　解：由图象可知,当时,所以,
当时,所以所以函数有极大值和极小值,故选D.
　　配套练习：已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．
　　解析：画出图像（略），在(0，＋∞)上有f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x>0时，f(x)<0，∴0<x<1；当x<0时，图象关于y轴对称，f(x)>0，∴x<－1.
　　答案：(－∞，－1)∪(0,1)
　　善于联想，灵活多变，注重类比，多方位思考，最终实现导数应用抽象函数题的求解，解题后引导学生细细体会解题过程中的思维轨迹，能够提高他们解题的灵活性和准确性，也能培养他们思维的广阔性与深刻性。