【正文】 　【摘 要】 数学学习离不开解题，但也不能一味的解题，陷入题海战术。我们说，题不在多，但求精彩。让一道题精彩起来的办法就是对这道题进行变式训练。本文结合初中数学习题教学实际，通过对一道习题的变式、拓展和延伸为例，探讨数学习题的一题多解、一题多变、一题多角度思考等变式训练。本文对数学解题教学有一定的启发和指导意义。
　　【关键词】 数学习题；变式；拓展；延伸

　　在数学习题课的教学过程中靠题海战术绝非良策，就题讲题会使学生的思维更加狭隘，一旦遇到新的题型，就可能无所适从.根据二十多年的实践与思考，笔者认为，如果教师能够对一道习题进行精心设计，适当拓深、演变，编制成一题多解、一题多变、一题多用、多题一法进行教学，对提高学生的思维能力，应变能力是大有益处的。这种变式教学是提高学生灵活运用知识能力的有效途径，更是培养学生触类旁通、灵敏快捷、发展思维的好方法。一般情况下几何问题的题目变式通常有以下几种：条件的弱化或强化；结论的延伸与拓展；图形的变化与延伸；条件与结论的互换；基本图形的构造应用；多种演变方法的综合。本文以一道习题为例进行探究，供同仁参考。
　　已知：如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求证：△CAB≌△ECD．







　　知识应用：
　　例1 分别以图1中的AB、AC、DE为边作正方形，得图2，已知正方形a、c的面积分别为11和5，求正方形b的面积．
　　例2 在直线l上依次摆放着4027个正方形（如图3）．已知斜着放置的2013个正方形的面积分别是1、2、3、…、2013，正放置的2014个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4、…、S2014，请猜想：S1+S2+S3+S4+…+S2014=______．





图3

　　变式1  弱化条件“直角”：把∠ACE=∠B=∠D=90°改为．∠ACE=∠B=∠D=α（α为锐角或钝角）如图4，如图5△CAB≌△ECD是否仍然成立？







　　     图4                             图5                                             图6

　　知识应用：
　　例3  如图6，在△ABC中，已知AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B.
　　（1） 说明△BFD与△CDE全等的理由
　　（2） 如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由。
　　变式2  如图7 弱化条件“AC=CE（线段相等）”即原题中去掉AC=CE，△CAB≌△ECD还成立吗？如果不成立，△CAB与△ECD是否会相似？







　　知识应用：
　　例题4 如图8，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，
　　AO=BO，当A点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为____________.
　　变式3  同时弱化“线段相等”和“直角”：如图9，如图10  △CAB与△ECD是否还会相似？







　　知识应用：
　　例5 如图11，在△ABC中，AB=AC=5㎝，BC=8㎝，P为BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B.
　　（1） 求证：△ABP∽△PCM；
　　（2） 设BP=x，CM=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
　　（3） 当△APM为等腰三角形时，求PB的长
　　变式4  如图12，13，14，强化条件：点C为BD的中点，连接AE，△EAC∽△CAB∽△ECD吗？






　　     图12                                  图13                           图14

　　总结与归纳：原题及变式1-变式4的图形我们可称之为“一线三等角”型，三等角可为直角、锐角、钝角，当AC=CE时△CAB≌△ECD；当没有AC=CE时△CAB∽△ECD；当没有AC=CE且点C为BD的中点时△EAC∽△CAB∽△ECD
　　对变式4的拓展探究：
　　拓展探究1 由相似三角形对应角相等的性质容易得出图12，13，14中AC，EC分别是∠BAE，∠DEA的角平分线。
　　拓展探究2  由角平分线上的点到角两边的距离相等的性质可知图12，13，14中点C到AB、AE、DE的距离相等。
　　（1）当“一线三等角”中的等角为直角时，过C作CQ⊥AE，则CB=CQ=CD，以C为圆心CB为半径作圆，如图15，则⊙C与AB、AE、DE相切。
　　（2） 当“一线三等角”中的等角为锐角时，过C作CM⊥AB于点M，过C作CQ⊥AE于点Q，过C作CN⊥DE于点N，则CM=CQ=CN，以C为圆心CM为半径作圆，如图16，则⊙C与AB、AE、DE相切。
　　（3） 当“一线三等角”中的等角为钝角时，延长AB与ED相交F，过C作CM⊥AB于点M，过C作CQ⊥AE于点Q，过C作CN⊥DE于点N，则CM=CQ=CN，以C为圆心CM为半径作圆，如图17，则⊙C与AB、AE、DE相切，点C为△AEF内切圆的圆心，即内心。








　　知识应用：
　　例6如图18，已知？△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，O是AB的中点，将45°角的顶点置于点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接DE.
　　（1） 求证：△AOD∽△OED；
　　（2） 设AD=x，试用关于x的式子表示DE.








　　第（2）小题提示：如图19 过O作OF⊥AC于点F，过O作OH⊥DE于点H，过O作OG⊥BC于点G。
　　在教学中，我们就要有强烈的变式意识，娴熟的变式方法，更要遵循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容。题目变式教学能够拓展学生思维，使学生能够举一反三，触类旁通，从而使学生脱离题海，让学生轻松学好数学，掌握解决数学问题的方法。
　　参考文献：
　　[1] 范东晖.入乎其内，出乎其外——让习题教学更有效[J].中学数学教学参考，2017（31）：47-49.
　　[2] 赵军、周玉俊.变形计——一道课本习题的变式教学与思考[J].中学数学杂志，2016（06）：33-36.
　　[3] 范连众.初中数学教科书习题现状分析与改进研究[D].东北师范大学，2019、05、01.
　　[4] 李彩玲.基于习题链的初中数学单元复习课的教学研究[D].江苏师范大学，2018、06、01.